Twierdzenie o istnieniu rozwiązań

Twierdzenie o istnieniu rozwiązań takiego układu można udowodnić, jakkolwiek uzyskanie dokładnego rozwiązania na ogół bywa nielada zadaniem. Ogólnie biorąc, rozsądnie jest zawsze zapytać od razu: „Czy warunki są wystarczające do wyznaczenia poszukiwanej ilości niewiadomych?" Często można wykazać, że rozwiązanie nie może istnieć. tak, układ n zależności nie może być rozwiązalny dla więcej niż n niewiadomych nie powiązanych ze sobą innymi związkami, a oczywiście nie zawsze uda się nawet tych n niewiadomych wyznaczyć (program uprawnienia budowlane na komputer). Z drugiej strony, istnieje wiele rozwiązalnych zagadnień, dla których trudno jest dowieść istnienia rozwiązania. Niekiedy można podać pracochłonną liczbową lub wykreślną metodę rozwiązywania lub też metodę kolejnych przybliżeń wskazując, że rozwiązanie istnieje, nawet jeśli znalezienie go tą drogą kosztowałoby zbyt wiele trudu (program uprawnienia budowlane na ANDROID).

Gdy podejmujemy jakieś trudne zagadnienie, często bywa pomocne odrzucenie wszystkiego poza istotnymi cechami, a następnie usiłowanie rozwiązania najprostszego wybranego przypadku, który wykazuje obecność tych cech. Jeśli zagadnienie daje się sprowadzić do jednego wymiaru i ciągle jeszcze wykazuje interesujące nas cechy, należy z tego skorzystać (uprawnienia budowlane). W razie potrzeby będzie można później uogólnić rozwiązanie do trzech wymiarów lub uwzględnić inne warunki.

Wydaje się, że istnieją dwa typy umysłowości: jedni mają skłonność do abstrakcji i ogólności, inni wolą konkretne przykłady. Większość uczonych zdaje się należeć do drugiej z tych grup. Łatwiej im uogólniać przypadki szczególne, niż najpierw otrzymywać ogólne wyrażenia, a potem znajdować ich rozwiązania szczególne (program egzamin ustny).

Analiza podstawowego określenia

Często poszczególne przypadki udaje się rozwiązywać metodami elementarnymi, wykorzystując szczególnie wartości kątów, symetrię, równość pewnych parametrów itp. Zabiegami tymi nie można się na ogół posłużyć przy wyznaczaniu rozwiązań ogólnych, ale niekiedy znajomość rozwiązań szczególnych sugeruje postać rozwiązania ogólnego. Jest zwykle łatwiej dowieść trafności odgadniętego wzoru (jeśli jest trafny), niż wyprowadzić go z podstawowych przesłanek. W wielu przypadkach potrafimy znaleźć (ale nie dowieść) ogólne wyrażenia matematyczne za pomocą intuicyjnej indukcji z przypadków szczególnych (opinie o programie). Potem często można je udowodnić metodą indukcji matematycznej.

Jeśli uogólnienie nic nas nie kosztuje, lepiej jest niekiedy wprowadzić je na początku rozważań, ale należy go unikać, gdy zaciemnia ono obraz problemu w umyśle badacza. Jest to jednak sprawa indywidualnego osądu, ponieważ z pewnością istnieją zagadnienia rozwiązalne łatwiej w postaci ogólnej niż szczególnej (segregator aktów prawnych).

Postać rozwiązania. Można zalecić przestudiowanie zagadnienia w celu ustalenia postaci rozwiązania - być może w oparciu o szczególne przypadki - przy uniknięciu całego przebiegu rozwiązywania. Potem możemy otrzymać współczynniki poszczególnych wyrażeń wykorzystując szczególne lub skrajne przypadki. Rozważmy na przykład zagadnienie obliczania momentów bezwładności jakiejś złożonej drobiny, w zależności od masy jej składowych atomów oraz odległości międzyatomowych (promocja 3 w 1).

Analiza podstawowego określenia w którym m_{ jest masą i-tego atomu, a y_{ i z_{ - współrzędnymi y i z tegoż atomu, wykazuje, że w poszukiwanym wyniku muszą występować odległości międzyatomowe w drugiej potędze, są one bowiem liniowo zależne od współrzędnych y_{ i z_{. Dalszy namysł wsparty wiedzą o roli, jaką w tych liniowych zależnościach odgrywają masy (współrzędne y_i i z_t- mierzymy od środka ciężkości), prowadzi bezpośrednio do wniosku, że współczynnik przy każdym kwadracie lub wzajemnym iloczynie odległości międzyatomowych jest sumą zredukowanych mas, tzn. sumą wyrażeń, z których każde jest iloczynem dwu mas podzielonych przez trzecią, w danym przypadku całkowitą masę drobiny.