Kłopotliwy paradoks

Obliczenia na podstawie wzoru (1) [lub prościej na podstawie wzoru (6)j wykazują, że prawdopodobieństwo tego najbardziej oczekiwanego. Pojawia się tu kłopotliwy paradoks, że wynik oczekiwany (który w tym przypadku jest zarazem najbardziej prawdopodobny) jest prawie zupełnie nieprawdopodobny. Wówczas, oczywiście, nie można odrzucić hipotezy (program uprawnienia budowlane na komputer).

Rozważmy teraz przypadek 4 dzieci leworęcznych na 20. Taki wynik mógłby zaskoczyć osobę niedoświadczoną i nasuwać jej wątpliwości, czy zawdzięczamy go przypadkowi. Osoba ta miałaby słuszność. Byłaby ona tak samo lub jeszcze bardziej zdumiona, gdyby liczba leworęcznych wynosiła 5, 6, 7, 8, …, 20. Łączne prawdopodobieństwo tych zdarzeń wynosi zaledwie 0,017 (program uprawnienia budowlane na ANDROID). Gdyby więc obserwator przyjął regułę: „odrzucam hipotezę za każdym razem, gdy w grupie 20 dzieci będzie 4 lub więcej leworęcznych", mógłby nie mieć racji, jednak nawet w przypadku, gdy hipoteza jest zawsze prawdziwa, w długiej serii doświadczeń odrzuciłby ją niesłusznie tylko w 1,7% przypadków. Ponieważ nikt nie może się spodziewać, że zawsze będzie nieomylny, większość ludzi zadowoliłaby się takim rozwiązaniem wnioskując, że w zbiorze dzieci jest coś szczególnego, dzięki czemu nie jest on próbką losową, albo populacja, z której próbkę pobrano, zawiera więcej niż 5% leworęcznych, albo też obie te możliwości występują naraz (uprawnienia budowlane).

Przytoczona reguła znajduje uzasadnienie w pewnych rozważaniach, których nie podaliśmy. Jest ona rozsądna, ponieważ istnieje hipoteza alternatywna, że dzieci wybrano z populacji o leworęczności częstszej niż 0,05. Zbiór wyników od 6 do 20 leworęcznych dzieci w klasie stanowi najlepszy zbiór krytyczny dla tej alternatywy (program egzamin ustny).

Estymacja

Zauważmy, że przy konstruowaniu zbioru krytycznego rozpoczyna się od przypadku 20 leworęcznych na 20. Przypuśćmy, że w rzeczywistości dzieci należały do populacji zawierającej 0,1 leworęcznych. Wówczas przypadek 20 na 20 będzie wciąż najbardziej nieprawdopodobny; a przecież jest to pierwszy wynik, który należy włączyć do zbioru krytycznego zgodnie z regułą podaną w p. 8.1, ponieważ przypadek 20 na 20 ma największą wartość stosunku. Po przypadku 20 na 20 idzie 19 na 20; 18 na 20 itd., aż skonstruujemy zbiór krytyczny, który ma taki poziom istotności a, jaki eksperymentator skłonny jest dopuścić (opinie o programie).

Przypuśćmy, że nie znamy frakcji p elementów o zabarwieniu czerwonym w populacji macierzystej, z której jednak pobraliśmy losową próbkę złożoną z n elementów, w tym r czerwonych. Co można na tej podstawie wnioskować o wartości p? W punkcie 7.4 mówiliśmy o przedziałach ufności, podając jako przykład rozkład dwumianowy. Rozpatrzymy teraz tę sprawę bardziej szczegółowo (segregator aktów prawnych).

Gdy znamy frakcję p całej populacji, równanie (1) pozwala obliczyć bezpośrednio prawdopodobieństwo pobrania próbki losowej, zawierającej r czerwonych elementów, przy ogólnej liczbie elementów równej n. Może ono wobec tego służyć do sporządzenia trójwymiarowego wykresu, na którym prawdopodobieństwo r elementów z grupy n przedstawione jest jako funkcja zmiennych r i p przy stałej wartości n. Wykres dla przypadku n = 20. jak widać, otrzymuje się wzniesienie przebiegające z dolnego lewego rogu (p = 0; r = 0) do górnego prawego rogu (promocja 3 w 1).

Największe wartości (jedność) osiąga to wzniesienie na obu swych krańcach, opadając do wysokości około 0,177 w środku (p = 0,5; r = 0,5n). Prawdopodobieństwo maleje po obu stronach tego wzniesienia, dość stromo i niesymetrycznie w pobliżu jego krańców, łagodniej zaś pośrodku. Metoda przedziałów ufności wymaga znalezienia na płaszczyźnie pr takiego obszaru, na którym spoczywa określona część (np. 0,95) całej objętości wzniesienia prawdopodobieństwa.