Przewidywanie rozkładu próbek

Rozkład wartości P^r_n dla dwu różnych wartości p, przy n - 20. Widać na nim kilka ogólnych własności tego rozkładu, zwanego rozkładem dwumianowym, własności, które starannie studiowano i dyskutowano (program uprawnienia budowlane na komputer).

Rozkład dwumianowy ma różne zastosowania. Przypuśćmy najpierw, że znane jest prawdopodobieństwo p występowania pewnej cechy w danej populacji, przy czym pożądana jest znajomość rozkładu tej cechy w powtarzanych próbkach o określonej liczebności. Jest to dane bezpośrednio przez wartość P^r_n ze wzoru (1), określającego prawdopodobieństwo, a więc w dostatecznie długotrwałym pobieraniu próbek również częstość występowania r przedmiotów czerwonych w próbkach n-elementowych. Dla ilustracji przypuśćmy, że władze szkolne pragną umieścić w klasach kilka ławek dla uczniów leworęcznych. W przybliżeniu około 5% dzieci jest leworęcznych. W klasie, do której uczęszcza 20 uczniów, można by oczekiwać, że przeciętnie jeden będzie leworęczny (program uprawnienia budowlane na ANDROID).

Jednakże jeśli zsumować wartości P£₀ od r = 2 do r = 20 to okaże się, że 26% próbek 20-elementowych (jeśli naprawdę pobrane są losowo) będzie miało więcej niż jednego ucznia leworęcznego. Władze szkolne muszą więc zdecydować, jak wielkie chcą dopuścić ryzyko, że liczba ławek będzie zbyt mała. Liczba tych specjalnych ławek tylko wtedy bowiem okaże się na pewno dostateczna, gdy będzie ich 20. Jeśli dopuszczą, by prawdopodobieństwo zbyt malej ilości wynosiło 0,02, wówczas, wystarczą 3 ławki, ponieważ suma prawdopodobieństw dla r - 20, 19, 18, …, 4 daje 0,016 (uprawnienia budowlane).

Sprawdzanie hipotez

Przypuśćmy teraz, że w szkole jest 10 takich klas, na podstawie poprzedniego rozumowania wymagających razem 30 specjalnych ławek. Ktoś rozumujący statystycznie wskazałby, że szkołę można traktować jako jedną całość on - 200 uczniach. Wówczas, jeśli na podstawie wzoru (1) [a jeszcze łatwiej ze wzoru (6)] obliczyć liczbę ławek zapewniającą, że prawdopodobieństwo zabraknięcia ich wynosić będzie co najwyżej 0,02, to okaże się, iż liczba ta wynosi 17, czyli zaoszczędzimy 13 ławek, gdy będzie je można przesuwać z jednego pomieszczenia do innego. Ilustruje to zarazem fakt, że przy rozpatrywaniu zagadnień stosunkowych wahania wokół wartości przeciętnej maleją ze wzrostem liczebności próbki, jakkolwiek bezwzględne wartości odchyleń oczywiście wzrastają (program egzamin ustny).

Przykład powyższy wykazuje konieczność przyjmowania pewnych założeń przy stosowaniu wzorów statystycznych do konkretnych sytuacji. Założeń tych nie potrafimy często uzasadniać w sposób ścisły, a kierujemy się tylko zdrowym rozsądkiem (opinie o programie). W rozpatrywanym przykładzie takim założeniem było przyjęcie losowego (pod względem leworęczności) charakteru zbioru uczniów w klasie, będącego próbką populacji, w której cecha leworęczności występuje w 0.05 przypadkach. Naturalnie zbiór taki nie jest przypadkowy pod żadnym względem. Został przecież dobrany przy zastosowaniu selekcji wieku i miejsca zamieszkania. Jest bardzo prawdopodobne, że ściślejsze badanie wykazałoby znaczne odchylenie od przyjętych założeń, ale i wówczas jeszcze równanie (1) może być dobrą praktyczną podstawą decyzji władz szkolnych (segregator aktów prawnych).

Z następnym zastosowaniem rozkładu dwumianowego spotkamy się przy sprawdzaniu hipotez. Przypuśćmy, że należy sprawdzić hipotezę, że dana klasa stanowi próbkę losową pod względem liczby dzieci leworęcznych, pobraną z populacji zawierającej 0,05 dzieci leworęcznych (promocja 3 w 1). Czy hipotezę tę należy odrzucić, jeśli zdarzy się, że wszystkie 20 dzieci będą leworęczne? W takim przypadku na pewno odrzucimy podaną hipotezę, ponieważ przy założeniu jej prawdziwości wynik 20 leworęcznych na 20 dzieci zdarzyć się może raz na 10^2<! przypadków’. Przypuśćmy jednak, że rozpatrywane miasto ma 5000 leworęcznych uczniów’ na ogólną liczbę 100000 uczniów, co dokładnie odpowiada założonym proporcjom.