Układ rozciągających sił

Jeśli znamy kierunki główne w każdym punkcie powłoki, możemy narysować sieć krzywych stycznych do tych kierunków (program uprawnienia budowlane na komputer). Krzywe te nazywamy trajektoriami sił normalnych; określają one drogi, wzdłuż których obciążenie, poprzez układ rozciągających i ściskających sił, przenoszone jest na podparte brzegi powłoki. Trajektorie mogą dać bardzo jasny obraz układu naprężeń w powłoce, ale otrzymanie ich jest pracochłonne, a wykreślenie trudne, nieczęsto więc stosuje się je w praktycznej analizie naprężeń (program uprawnienia budowlane na ANDROID). Tym niemniej pamiętać należy, że wskazują one kierunki, wzdłuż których cienka powłoka powinna być wzmocniona żebrami lub zazbrojona (w przypadku powłok żelbetowych).

Równania wskazują, że siły błonowe w dowolnym punkcie powłoki przedstawiają sobą dwuwymiarowy tensor symetryczny, podobnie jak dwuwymiarowy stan naprężeń (a_x, Oy, r_xy), stan odkształceń lub też układ momentów bezwładności przekroju (uprawnienia budowlane). We wszystkich powyższych przypadkach istnieją układy wzorów identyczne opracowano też kilka metod graficznych dających te same wyniki co rozpatrywane równania (np. różne elipsy bezwładności, koło Landa, koło Mohra). Wydaje się, że spośród wszystkich tych metod koło Mohra jest najbardziej użyteczne i mimo że metody graficzne straciły wiele ze swego znaczenia rozpatrzymy je tutaj dość szczegółowo, ze względu na korzyści wynikające z otrzymania jakościowego obrazu rozkładu naprężeń (program egzamin ustny).

Przypadki szczególne powłok, które rozpatrzymy w niniejszym rozdziale spotyka się w wielu zastosowaniach inżynierskich, a przede wszystkim w konstrukcjach zbiorników, naczyń ciśnieniowych oraz kopuł (opinie o programie).

Dowolny punkt leżący

Przed przystąpieniem do zbadania stanu naprężeń musimy rozpatrzyć geometrię powierzchni środkowych. Powierzchnia obrotowa utworzona jest przez obrót płaskiej krzywej dokoła osi leżącej w jej płaszczyźnie; krzywą tworzącą nazywać będziemy południkiem. Dowolny punkt leżący na powierzchni środkowej powłoki wyznaczony jest przez południk oraz drugą współrzędną zmieniającą się wzdłuż południka i stałą na okręgu wokół osi powłoki. Ze względu na to, że wszystkie okręgi odpowiadające różnym wartościom drugiej współrzędnej są do siebie równoległe, nazywać je będziemy równoleżnikami (segregator aktów prawnych).

Południk opisywać będziemy za pomocą odległości kątowej 0 jego płaszczyzny od pewnej płaszczyzny wyróżnionej, a jako drugą współrzędną wybierzemy kąt (f> między normalną do powłoki i jej osią. Jeśli powierzchnia środkowa naszej powłoki jest powierzchnią kulistą, powyższe współrzędne są współrzędnymi kulistymi stosowanymi w geometrii, a mianowicie 0 jest długością geograficzną, a kąt 0 jest dopełnieniem szerokości geograficznej od kąta prostego. Stąd też powstała terminologia południków i równoleżników.

Jest rzeczą godną uwagi, że równanie nie zawiera żadnych pochodnych nieznanych funkcji, można je więc zawsze wykorzystać do wyeliminowania jednej z sił normalnych i sprowadzenia rozważanego zagadnienia do dwóch równań różniczkowych na siłę ścinającą i jedną z sił normalnych (promocja 3 w 1).

Do tej pory używaliśmy dwóch współrzędnych kątowych 0 i 0. Jest to właściwe dla wielu powłok z południkami o dostatecznie prostym kształcie; współrzędne te wykorzystywane są powszechnie w teorii powłok obrotowych. Należy jednak zauważyć, że używanie kąta 0 jest bardzo niewygodne, gdy południk ma punkt przegięcia. W tym punkcie 0 osiąga maksimum i zaczyna maleć, skąd wynika, że wypadkowa naprężeń jest dwuwartościową funkcją 0, przy czym jej gałęzie odpowiadają częściom południka nad i pod punktem przegięcia. Jeszcze większe trudności spowodowane są faktem, że znak siły ścinającej N# zależy od kierunku wzrostu 0; ze względu na to, że ten ostatni zmienia się przy przejściu przez punkt przegięcia, siła ścinająca nagle zmienia znak, bez przejścia przez zero. Jest rzeczą oczywistą, że rozwiązanie analityczne spełniające te warunki nie może być proste, a przy numerycznym rozwiązywaniu równań różniczkowych także powstaną trudności.