Przedziały ufności

Statystycy przestudiowali proces losowego pobierania próbek i opracowali bezpośrednią metodę oceny niepewności wnioskowania indukcyjnego opartego na takich próbkach. Matematyczne podstawy są tu dość proste i zostały, obecnie zaś omówimy samą koncepcję metody przedziałów ufności (program uprawnienia budowlane na komputer).

Losowe pobieranie próbek z jakiejś klasy zawierającej znaną frakcję elementów wyróżnionych (np. kotów bezogoniastych) można traktować bezpośrednio, określając prawdopodobieństwo, że próbka losowa n-elementowa zawiera r wyróżnionych elementów. Wyniki dla n = 100, gdy frakcja j> elementów wyróżnionych wynosi 0,6 (program uprawnienia budowlane na ANDROID). Większość próbek ma prawie taką samą frakcję elementów wyróżnionych co i cała klasa, a tylko nieliczne zawierają ich znacznie więcej lub znacznie mniej. Próbki reprezentowane przez zakreskowane krańce powierzchni pod krzywą wykresu prawdopodobieństwa stanowią przeciętnie 5% ogółu próbek pobranych. Wobec tego 95% ogółu tych próbek ma wartości r zawarte w granicach r₁ i r₂ (uprawnienia budowlane).

Krzywe o przebiegu podobnym można obliczyć dla wszelkich możliwych wartości frakcji p w danej klasie, wyznaczając na tej podstawie granice r_l i r₂. Granice te można narysować jako funkcje p. Każdej możliwej próbce 100-elementowej odpowiada na tym wykresie punkt, ponieważ każda próbka ma określoną wartość r i jest pobrana z klasy o pewnej skończonej wartości p. Punkty leżące między krzywymi granicznymi obejmują 95% wszelkich możliwych próbek, ponieważ krzywe te poprowadzono tak, by twierdzenie to było słuszne. Jeśli więc pobierzemy próbkę losową i bez sprawdzania będziemy twierdzić, że odpowiadający jej punkt leży między krzywymi granicznymi, to twierdzenie to będzie niesłuszne tylko w 5% przypadków (program egzamin ustny).

Poziom ufności

Przypuśćmy teraz, że pobrano próbkę i określono dla niej wartość r - liczbę wyróżnionych elementów. Ponadto przypuśćmy, że frakcja p klasy jest nieznana. Jeśli założymy, że próbka leży w obszarze „95-procentowym", to wówczas możliwe wartości p muszą zawierać się między granicami p_x i p₂. Rozważmy teraz twierdzenie: „w losowej próbce 100-elementowej zaobserwowałem r elementów wyróżnionych, mogę więc sądzić, że próbkę pobrano z klasy, w której frakcja elementów wyróżnionych zawiera się między wartościami p_x i p₂“. Ze względu na metodę obliczania wartości p_x i p.₂ twierdzenie to będzie słuszne przeciętnie w 95% przypadków. Zakres od p_x do p₂ zwiemy przedziałem ufności dla parametru p; w tym szczególnym przypadku powiemy, że skonstruowano go przy poziomie ufności 0,95 (opinie o programie).

Pomocny tu będzie przykład liczbowy. Przypuśćmy, że pobrano losową próbkę liczącą 100 kulek z obszernej urny i znaleziono wśród nich 17 kulek czerwonych. Przy poziomie ufności 0,95 frakcja czerwonych kulek w urnie zawiera się między granicami 0,10 i 0,26 (segregator aktów prawnych).

Metodę przedziałów ufności można obecnie zastosować do wnioskowania indukcyjnego dotyczącego kotów’. Gdyby znaleziono 1000 kotów bezogoniastych, trudno byłoby ocenić pewność uogólnienia, że wszystkie koty są bez ogonów. Jeśli jednak pobierzemy losową próbkę 1000-elementową z klasy wszystkich kotów, to można zastosować metodę przedziałów ufności, otrzymując w wyniku, że twierdzenie „nie więcej niż 1% wszystkich kotów jest bez ogona" cechuje poziom ufności 0,99. Innymi słowy, stwierdzenia o podobnej oczywistości okażą się, prawdziwe przeciętnie w 99% przypadków (promocja 3 w 1). Naturalnie, twierdzenie to nie jest tak zdecydowane, jak byśmy chcieli, zwłaszcza w przypadku próbki o lak znacznej liczebności. Jeśli jednak mamy do czynienia z całkowicie odosobnionym wnioskowaniem indukcyjnym, to nie wiem, jak można by uzasadniać na tej podstawie jakieś bardziej sprecyzowane czy zdecydowane sądy.