Układ uogólniony

Gdy rozpatrywane zagadnienie nie jest odosobnione, lecz stanowi część zbioru problemów analogicznych, jest niekiedy pożądane wprowadzenie sposobów zapisu i postępowania, które można by stosować do całej klasy zagadnień. Upraszcza się bowiem rozwiązanie każdego z nich, skoro tylko ujmiemy formalnie układ uogólniony. Prowadzi to nawet niekiedy do rozwoju nowych gałęzi matematyki, ale są to przypadki rzadkie (program uprawnienia budowlane na komputer).

I tak na przykład algebra wektorowa jest po prostu sposobem zapisu przeznaczonym do upraszczania rozwiązywania zagadnień, w których występują siły, prędkości itp. w przestrzeni trójwymiarowej. Gdyby trzeba było rozwiązać jedno tylko zagadnienie, nie warto byłoby opracowywać tego zapisu ani się go uczyć, gdyż każde zagadnienie, które daje się rozwiązać za pomocą algebry wektorowej, można rozwiązać również bez jej użycia. Jeśli natomiast chodzi o wiele zastosowań, to nakład czasu i wysiłków opłaca się szybko (program uprawnienia budowlane na ANDROID).

Warto wiedzieć, że istnieje cała klasa algebr odmiennych od zwykłej, elementarnej. (Termin „algebra" używany jest często przez matematyków w bardziej ograniczonym znaczeniu). Dla ilustracji można przytoczyć np. algebrę operacji symetrycznych. Litery oznaczają w niej nie liczby jak w zwykłej algebrze, ale takie operacje symetryczne jak odbicie w płaszczyźnie symetrii lub obrócenie o jedną czwartą pełnego obrotu dokoła osi o poczwórnej symetrii. I to są właśnie elementy tej algebry. Musi istnieć jeden lub więcej sposobów łączenia tych elementów. W tym przypadku iloczyn dwu elementów określamy jako operację równoważną kolejnemu ich zastosowaniu (uprawnienia budowlane).

Słowa „iloczyn" używamy tylko dlatego, że ten sposób łączenia wykazuje pewne podobieństwo do iloczynu znanego ze zwykłej algebry, a niedogodnie jest wprowadzać do języka wielką liczbę nowych słów dla oznaczania pokrewnych pojęć. Jednak podobieństwo to nie jest zupełne: często stanowi zasadniczą różnicę, którą z operacji symetrycznych wykonamy najpierw, tzn. AB może różnić się od BA (program egzamin ustny). Dalsze uwagi dotyczące algebry operacji symetrycznych, która jest niezwykle użyteczna w krystalografii, opisie budowy drobinowej itp.

Matematyka

Warto wspomnieć, że w algebrze wektorowej występują trzy rodzaje łączeń, zwane dodawaniem, mnożeniem skalarnym i mnożeniem wektorowym. Innymi ze znanych algebr są: algebra macierzy, algebra zbiorów oraz algebra rachunku zdań. Jeszcze inna jest algebra, którą posługujemy się przy projektowaniu doświadczeń. Układy sformalizowane nie ograniczają się do algebr, ale algebry obrazują najlepiej podstawową ich koncepcję (opinie o programie).

Ogólnie biorąc, nie opłaca się wprowadzać specjalnej postaci zapisu dla rozwiązania jednego problemu, który daje się również rozwiązać zwykłymi metodami. Łatwo jest oszołomić się własnymi pomysłami i zapomnieć, że nakład pracy może być zbyt wielki, by kiedykolwiek, zwłaszcza dla innych, usprawiedliwiały go płynące z niego korzyści. Nic nie zniechęca bardziej czytelnika mającego umysłowość fizyka, niż gdy otwierając książkę poświęconą jakiemuś niezwykle interesującemu go tematowi widzi, że musi opanować kilka rozdziałów nowego działu matematyki (może nawet bez żadnej innej dziedziny zastosowań), zanim dowie się czegoś użytecznego z dalszego tekstu (segregator aktów prawnych). Jeśli jednak oszczędność pracy jest znaczna, a system formalny dość prosty, jego wprowadzenie bywa często wysoce korzystne. Należy pamiętać, że każdy odpowiednio uzdolniony może wymyślić swój własny sposób zapisu lub odrębną gałąź matematyki. Matematyka nie ogranicza się do działów już wyłożonych w książkach.

Niekiedy można otrzymać twierdzenie matematyczne metodą prób i uogólnień bez jakiegoś ścisłego dowodu. Wzorów można się niekiedy domyśleć, a następnie sprawdzić je na pewnej ilości szczególnych przypadków. Istnieją dwie ogólne metody dowodzenia takich twierdzeń: metoda sprowadzania do niedorzeczności i metoda indukcji matematycznej (promocja 3 w 1).