Ciała niebieskie

Podstawowe pojęcia są tu tak proste, że graniczą z banalnością. Niemniej jednak zrozumienie, że są one w zasadzie raczej pospolite niż tajemnicze i subtelne, warte jest pewnego wysiłku. Zdanie jest zwykle stwierdzeniem, że jedna lub więcej rzeczy należą do jakiegoś szczególnego zbioru lub, innymi słowy, że przedmioty te tworzą w jakimś zbiorze swoisty podzbiór (program uprawnienia budowlane na komputer).

Sąd taki może niekiedy mieć prostą formę definicji, jak np. zdanie q: „Planety są to ciała niebieskie wykazujące ruch względem gwiazd, przy czym nie są one kometami, Słońcem ani Księżycem'". (Można z łatwością postawić tej definicji wiele zarzutów, ale ma ona służyć wyłącznie jako ilustracja). Zdanie to będzie prawdziwe, nawet gdyby nie istniała żadna planeta, ponieważ jest ono po" prostu definicją. Natomiast zdanie p: „Mars jest elementem zbioru ciał; niebieskich, które wykazują ruch względny" nie jest definicją, lecz sformułowaniem obserwacji, jeśli tylko uzgodnimy, że istnieje przedmiot zwany Marsem (program uprawnienia budowlane na ANDROID).

Studiowanie logiki matematycznej

Słowa i zwroty takie jak: „nie", „i", „lub", „jeżeli…, to", „wtedy i tylko wtedy, gdy…", „albo…, albo" zwiemy funktorami zdaniotwórczymi. Używamy ich do łączenia zdań prostych w bardziej złożone. Jeśli więc zdanie p stwierdza, że coś jest elementem lub podzbiorem zbioru X, to zdanie, które zapiszemy w skróconej formie jako „nie />", stwierdza, że dany przedmiot nie jest elementem zbioru x lub, co oznacza to samo, że jest on elementem zbioru x’. „Nie />" zapisujemy częsio w postaci /?" lub     Podobnie „p i 7″ jest zdaniem prawdziwym wyłącznie wtedy, kiedy i p, i q są zdaniami prawdziwymi. Zamiast spójnika „i" używamy niekiedy znaku A . „p lub 7″ jest zdaniem prawdziwym, gdy jedno lub oba ze zdań składowych są prawdziwe, fałszywym zaś, gdy oba zdania są fałszywe. Zauważmy, że w mowie codziennej „lub" oznacza mniej więcej to samo co „albo…, albo", co jest jednak odmiennym funktorem. W logice natomiast „lub" znaczy raczej: „i" albo „lub". „/> lub 7” zapisujemy często symbolicznie jako „p V 7″ (uprawnienia budowlane).

W mowie potocznej zwrot „jeśli p, to 7″ ma różne odcienie znaczeniowe, natomiast w logice znaczy on zawsze „nie (p i nie 7)", tzn. że zdanie to nie może być prawdziwe, gdy p jest prawdziwe, a 7 fałszywe. Pewne zamieszanie może wywo’ać fakt, że takie zdanie złożone uważamy za prawdziwe zawsze, gdy p jest fałszywe, bez względu na prawdziwość czy fałszywość zdania q. Wynika to jednak z definicji funktora „jeżeli …, to". Funktor „jeżeli …, to" zapisujemy symbolicznie „y>-> 7″ lub ,,/>>7“ i czytamy „p implikuje 7″ (program egzamin ustny).

Inny funktor, ,,p wtedy i tylko wtedy, gdy 7″ tworzy zdanie prawdziwe tylko w przypadku, gdy p i 7 są zarazem albo prawdziwe, albo fałszywe. W końcu funktor „albo p, albo 7″ (zapisywany „/> A 7″) daje zdanie prawdziwe tylko w przypadku, gdy jeden składnik jest prawdziwy, a drugi fałszywy (opinie o programie).

Studiowanie logiki matematycznej pozwala nadać większą ścisłość i pewność zwykłym logicznym rozumowaniom. Rozważmy np. zdanie: „Jeśli ostatnią cyfrą liczby całkowitej jest 5, to liczba ta jest podziel na przez 5’. Jest to implikacja „p -> ry", przy czym ]> jest zdaniem: „ostatnią cyfrą liczby całkowitej jest 5”, q zaś zdaniem: „liczba całkowita jest podzielna przez 5″ (segregator aktów prawnych). Związek „p -> q nie warunkuje prawdziwości związku odwrotnego: „q->p. W naszym przypadku implikacja „q ->/>" brzmi: „jeśli liczba całkowita jest podzielna przez 5, to jej ostatnią cyfrą jest 5”, co oczywiście jest fałszem. Ale „p —> q" warunkuje poprawność implikacji ,,ry’ ->//”, która zresztą warunkuje implikację pierwotną „p->q" (promocja 3 w 1).