Zbiory jednorodne

Przypadkiem, który warto rozpatrzyć, jest problem pobierania próbek, który badaliśmy w p. 7.4, metodą przedziałów ufności. Pobieramy próbkę losową z pewnego zbioru i stwierdzamy, że wszystkie jej elementy mają pewną cechę (w poprzednim przykładzie wszystkie koty w próbce miały ogony). Przy próbce 1000-elementowej metoda przedział?) w ufności prowadziła do wniosku, że koty bezogoniaste stanowią mniej niż 1% wszystkich kotów (program uprawnienia budowlane na komputer). Nie było to zresztą twierdzenie zupełnie pewne, ale o poziomie ufności 0,99, tzn. że na ogół podobne twierdzenia oparte na podobnych danych okażą się słuszne w 99 przypadkach na 100 (program uprawnienia budowlane na ANDROID).

Jeżeli zastosujemy metodę równych prawdopodobieństw a priori, to wartość tego prawdopodobieństwa dla każdego poszczególnego przypadku składu zbioru wypadnie bardzo mała: 1/(A’ + 1), gdy liczba N elementów tego zbioru będzie znaczna (uprawnienia budowlane). Jest więc bardzo mało prawdopodobne (przed doświadczeniem), by wszystkie koty miały ogony. Po zbadaniu 1000 kotów, przy czym wszystkie z nich miały ogony, prawdopodobieństwo, że wszystkie koty mają ogony, wzrośnie niepomiernie, ale będzie ono jeszcze małe, jeżeli N wybrano wielkie (program egzamin ustny). Z tego względu Jeffreys utrzymywał, że składom 0%. i 100% należy przypisać zwiększone wartości prawdopodobieństw a priori, aby umożliwić osiągnięcie dużych wartości prawdopodobieństwa a posteriori jednorodności całego zbioru w przypadku pobrania próbki o umiarkowanej liczebności. W rozpatrywanym przykładzie otrzymano by naturalnie fałszywe wnioski (na podstawie badanej próbki) (opinie o programie).

Metoda największego prawdopodobieństwa

Przyjęcie, bez poważniejszych zmian, tej metody wnioskowania wydaje się bardzo trudne. Rzadko bowiem określenie zbioru może być tak dokładne, by nie mogły przytrafić się jakieś elementy wyjątkowe. Pogląd, że wszelkie prawa naukowe będą stopniowo zastępowane innymi, dokładniejszymi i bardziej ogólnymi, wydaje się słuszny. Jeżeli zaś jest on prawdziwy, to prawdopodobieństwo o priori jakiejkolwiek rozpatrywanej hipotezy jest równe zeru i musi takim pozostać bez względu na to, ile razy ją „sprawdzono”. Może ona być świetnym przybliżeniem w olbrzymim zakresie zmienności warunków, zawsze jednak może zaistnieć sytuacja, nie wykluczona bieżącym gromadzeniem danych, w^r której dane prawo nie znajdzie zastosowania (segregator aktów prawnych).

Może byłoby lepiej mówić nie o prawdopodobieństwie, że dane prawo jest prawdziwe, lecz o prawdopodobieństwie, że da się ono zastosować w następnym przypadku. Takie ujęcie zgadzałoby się dobrze z rzeczywistymi warunkami obecnej praktyki i nie byłoby sprzeczne z wyżej wyrażonym poglądem, że prawo to ostatecznie zawiedzie.

Jeśli we wzorze Bayesa przyjęto takie same wartości prawdopodobieństw a priori dla wszystkich możliwości alternatywnych, to dla pewnej możliwości alternatywnej otrzymamy maksimum prawdopodobieństwa a posteriori. R. A. Fisher zaproponował wykorzystanie tego wyniku jako podstawowego założenia, które uznalibyśmy za niezależne od wniosków wypływających z twierdzenia Bayesa. Zasada ta ujęta samodzielnie brzmiałaby: „Jeśli jakieś zdarzenie można wyjaśnić na podstawie każdej hipotezy pochodzącej ze zbioru hipotez wzajemnie się wykluczających, to należy przyjąć tę hipotezy (jeśli w ogóle przyjmiemy jakkolwiek i nich), którą cechuje największe prawdopodobieństwo otrzymanego wyniku” (promocja 3 w 1).

Jednym z powodów przyczyniających się do popularności tej zasady jest fakt, że prowadzi ona do dogodnych charakterystyk estymatorów statystycznych. Istnieje wiele przypadków, w których nie należy korzystać z tej zasady. I tak, przypuśćmy, że rzucono monetę bez uprzedniego jej obejrzenia, przy czym upadła ona orłem do góry. Największe prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest związane z hipotezą, że moneta ma orła z obu stron lub - nie wnikając w szczegóły — że zawsze będziemy po rzuceniu otrzymywać orli!