Zbiory ciągłe

Jeśli zbiór a jest ciągły, jak np. zbiór wszystkich punktów na prostej, niezbędne okazuje się wprowadzenie jakiegoś postępowania pozwalającego na ilościowe jego ujęcie. Postępowanie to musi być zgrane z metodą losowego wyboru elementów ze zbioru(program uprawnienia budowlane na komputer). Przedstawimy tu interesujący przykład takiego zagadnienia. Rozważmy prostą przecinającą w dwu punktach pewien okrąg i będącą wobec tego cięciwą okręgu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cięciwa PB, narysowana w sposób losowy, jest dłuższa od boku równobocznego trójkąta PQR wpisanego w dany okrąg? Mogłoby się zdawać, że bez względu na położenie punktu P prawdopodobieństwa wyznaczenia punktu B w równych częściach obwodu okręgu będą również równe (program uprawnienia budowlane na ANDROID).

Ponieważ PB będzie dłuższa niż PQ tylko wówczas, gdy punkt B znajduje się między punktami Q i R, a QR stanowi trzecią część obwodu, więc poszukiwane prawdopodobieństwo zdaje się wynosić ¹/₃. Można by jednak sądzić również, że wartość jego wynosi ¹/₂. Cięciwa jest bowiem wyznaczona, gdy wybierzemy prostopadły do niej promień okręgu oraz punkt na tym promieniu, przez który przechodzi cięciwa (uprawnienia budowlane). Jeśli punkt ten leży bliżej środka okręgu niż pół długości promienia, to cięciwa będzie dłuższa niż bok trójkąta. Ponieważ wszystkie punkty promienia są jednakowo prawdopodobne, więc szukana wartość prawdopodobieństwa wynosi ¹/₂ (program egzamin ustny).

Idealna ruletka

I wreszcie można by również bronić wartości ¹/₄. Cięciwę określa bowiem między innymi położenie jej punktu środkowego. Można Założyć, Że każde położenie tego punktu wewnątrz okręgu jest jednako prawdopodobne. Jeśli leży on wewnątrz okręgu współśrodkowego, którego promień równy jest połowie promienia okręgu pierwotnego, to cięciwa jest dłuższa. Powierzchnia tego wewnętrznego okręgu stanowi czwartą część całej powierzchni, co daje wartość prawdopodobieństwa równą ¹/₄ (opinie o programie).

Jak można uzgodnić tak rozbieżne odpowiedzi? Są one, różne, różne były bowiem metody losowego wyboru cięciwy. Pierwszy wynik otrzymano, gdy wybór punktu B uzależniamy od posłużenia się ruletką. Drugi wynik będzie odpowiedni w przypadku rzucenia ślizgającego się modelu koła na stół pokryty prostymi równoległymi, między którymi odległość jest równa dwóm promieniom, przy czym za cięciwę uznamy prostą przecinającą okrąg, gdy zakończy się jego ruch. I wreszcie trzeci wynik znajdzie zastosowanie, gdy powierzchnię koła wystawimy na działanie deszczu uważając, że pierwsza spadająca nań kropla wyznacza położenie cięciwy.

Dotychczas przy omawianiu prawdopodobieństwa zawsze stwierdzaliśmy, że zastosowano wybór losowy, obrazując go za pomocą „idealnej" ruletki. Niestety, trudno byłoby dowieść, że taka idealna ruletka może istnieć. Wydaje się niemożliwe, by tarcza jej wykonana była tak symetrycznie, że nie wystąpiłoby uprzywilejowanie jakiejkolwiek liczby, nawet jeśli w praktyce potrafimy bardzo zbliżyć się do tego ideału. Ponadto trudno jest określić logicznie, co oznacza losowość, bez posługiwania się pojęciem prawdopodobieństwa - a więc błędne koło (segregator aktów prawnych).

W praktyce znamy jednak metody wyboru losowego, które są całkowicie zadowalające. Zwykle dość dobra jest metoda oparta np. na następstwie orłów i reszek otrzymywanych przy wielokrotnym rzucie monety. Serię taką można przedstawić w postaci zbioru liczb przypadkowych, wyodrębniając np. podgrupy złożone z czterech rzutów i posługując się dwójkowym układem liczenia: RRRR = 0, RRRO = 1, RROR.

Jeśli istnieją wątpliwości, czy taka seria jest wystarczająco losowa,’ można postąpić, jak następuje: rzucamy ponownie, przy czyni poprzednia seria pozwala nam rozstrzygnąć, czy orły, czy też reszki nazywać zerami bądź jednostkami. I tak, jeśli początek wcześniejszej serii wypadł powiedzmy ORRROO, to wynik pierwszego rzutu w nowej serii uznamy za 1, jeśli będzie on orłem, a za 0, jeśli będzie reszką (promocja 3 w 1). Drugi rzut uznamy za 1, jeśli będzie reszką, a za 0, jeśli będzie orłem itd. Postępowanie takie w zasadzie można powtarzać dowolną liczbę razy, zwiększając losowość ostatecznej serii.